Pierre de Fermat, Christian Goldbach, Georg Friedrich
Bernhard Riemann, Jules Henri
Poincaré…, forman parte del selecto club matemático conocido como el de “Los
Tocapelotas”. Para ser admitido en él, es condición necesaria y suficiente
sacarse de la manga y sin que venga a cuento, un enunciado de cualquier rama de
las matemáticas que tenga una apariencia muy sencilla y resulte, sin embargo,
endiabladamente difícil de demostrar. Hoy hablaremos de una de las conjeturas,
que así se llaman estos enunciados o proposiciones) más conocidas de la
historia: se trata de una de las conjeturas (porque el muy distinguido miembro
del club de Los Tocapelotas que la sacó a la luz, tiene varias en su haber) de
Goldbach. Dice así:
“Todo
número par mayor que dos es la suma de dos números primos”
Desde 1742, fecha aproximada de su
publicación, hasta hoy, nadie ha sido capaz de demostrar una cosa tan
aparentemente simplona, inane, banal como ésta y ha causado el suicidio
–intelectual- de más de uno y de dos matemáticos, tanto reales como de ficción.
En los años treinta del siglo veinte, el
joven lógico-matemático Kurt Gödel , demostró, que, en algunos sistemas
axiomáticos formales, existían proposiciones de las que no era posible demostrar
ni su verdad ni su falsedad. Se las conoce como los enunciados indecibles de
Gödel y la expresión “yo no soy demostrable” se convirtió en su paradigma.
Concretamente, el conjunto N de los números naturales, contiene infinitas
proposiciones de este tipo. ¿Es la conjetura de Goldbach una de ellas? Muchos
aficionados pensaron que, dada la imposibilidad aparente de su demostración,
bien pudiera ser que, en efecto, fuera un indecible de Gödel.
Para demostrar que la conjetura de Goldbach
sí es demostrable, trataremos de enunciarla dentro del cuerpo de los números
complejos, C. Para ello, tomamos un espacio dominio en C, que llamaremos Cz,
formado por todos los puntos de la forma
zk=nk+ink
(con nk un número natural mayor que 1 e i=√-1)
y otro, al que llamaremos espacio imagen Cw
constituido por los puntos de la forma:
wh,j=ph+ipj
(con ph y pj, números primos)
y consideramos la aplicación de Cz en Cw,
dada por
zk→wh,j
tal que
nk+nk=2nk=ph+pj
La conjetura de Goldbach, llevado a este
terreno de los números complejos, dice que sea cual sea el nk
elegido (mayor que 1), la aplicación definida previamente se cumple siempre.
Ahora resulta que, gracias a la magia de los
números complejos, con esta simple equivalencia, hemos conseguido demostrar que
la conjetura de Goldbach es demostrable. ¿Por qué? Porque en el conjunto de los
números complejos, a diferencia del de los números naturales, por ejemplo, todo
enunciado verdadero es demostrable, en el sentido de que, si la conjetura es
cierta, siempre habrá un matemático que, siguiendo los pasos del tío Petros,
consiga hacerlo y si, por el contrario, es falsa, podrá también demostrar dicha
falsedad. En definitiva, la indecibilidad de Gödel no es aplicable al cuerpo de
los números complejos. Lo de demostrar o no la conjetura en sí, es otra
historia.
Veamos: comentario había y comentario debe haber. Es una prueba, y espero que funcione porque no pienso pasarme la vida como el tío Petros....
ResponderEliminarAhora sí llega. Pued djar, si lo desea, su comentario. Gracias Bandolera bando
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